Intégrale de Gauss : $${{\int^{+\infty}_{-\infty}e^{-\alpha x^2}\,dx}}={{\sqrt{\frac\pi\alpha} }}\quad\text{ avec }\quad\alpha\in{{{\Bbb R}^*_+}}$$
(on a ce résultat en passant en coordonnées polaires via un changement de variables, puis en appliquant le théorème de Fubini-Tonelli)
(Changement de variable, Théorème de Fubini-Tonelli)
Intégrale de Gauss : $${{\int^{+\infty}_{-\infty}e^{-x^2/2}\,dx}}={{\sqrt{2\pi} }}$$
(Intégrale impropre - Intégrale généralisée)
Cas générique
$${{\int^{+\infty}_{-\infty}\exp(-ax^2+bx+c)\,dx}}={{\sqrt{\frac\pi a}\exp\left(\frac{b^2}{4a}\right)}}$$
Proposition :
Si \(a\in{\Bbb R}\) et \(b\gt 0\), alors : $$\int_{\Bbb R}{{ e^{iax-bx^2} }}\,dx={{e^{-a^2/4b}\sqrt{\frac\pi a} }}$$
